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1+2+4+8+16・・・=-1 って知ってた? 日本人ノーベル賞受賞者朝永振一郎氏の「くりこみ理論」とは



※画像の数式は記事と関係ありません


さて、「1は0.999...より大きい?」という記事で盛り上がってるようですので、思いっきり便乗して数学ネタを提供します。

1=0.999... については、ネットでしばしば話題になりますので、ネット歴の長い方なら知っていたというかたも多いんじゃないかと思います。
しかし、この話を知ってる人は少ないのではないでしょうか?



1+2+4+8+16・・・=-1  が成立するということをご存知でしょうか?

そんなわけないだろ、とお思いの方、簡単に証明できますので、ぜひご覧下さい。

はい、では今から証明を始めましょう。

まず、y=1+2+2^2+2^3+…と置きます。
(2^2、2^3は、それぞれ2の2乗、2の3乗を意味します。…は永遠に続くということ。
分かってると思いますが念のため。)

y=1+2(1+2+2^2+2^3+…) と変形します。すると
y=1+2y となりますね?
すると、y-2y=1 より
y=-1
となります。

これで、
1+2+4+8+16・・・=-1
証明できました

納得いかない?どう見ても左辺が無限に大きくなるって?
しかし、これは数学的に正しいのです。

このように、無限に大きくなるように見える数式(数学的には、「発散する」と言います)を有限に値にするためにする数式操作を「くりこみ」と言います。
このくりこみについての理論である「くりこみ理論」によってノーベル物理学賞を取ったのが、日本の物理学者、朝永振一郎氏なのです。

ちなみに、苗字はともながと読みます。読み間違えた人、恥ずかしがらずに手を上げて。

さきほどの式をより一般的にすると、
y=1+x+x^2+x^3+…=1/1-x
と書けます。この式は、x≠1の時に常に成り立ちます。
上記の例ではx=2のときなので問題ないですね。
この式では、x<1では普通に収束するので、右辺の式に変形しなくても計算できます。
しかし、x>1においては右辺の式に変形しないと有限の値が求められないため、大変重宝します。
ノーベル物理学賞を受賞しているだけあって、このくりこみ理論は量子力学などで用いられているようです。

さて、なぜ無限大になるはずの式が有限の値になるかについて、全く説明していないのですっきりしていない方もいらっしゃると思います。
しかし、私もそのあたりはよく分からないので、これ以上説明することはできません。
さらに、私は本でちょっとこの話を読んだだけなので、理解が正確でない恐れがあります。
そこで、私の説明よりよっぽどまともな、wikipediaのくりこみのページを貼っておきます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B9%B0%E3%82%8A%E8%BE%BC%E3%81%BF
このページを見ても分からない方は、多分優秀なガガリアンの方が答えてくれるので、ぜひコメント欄で聞いてみて下さい。

補足:
コメント欄で指摘されている方がいるのでフォローします。
1+2+4+8+16・・・=-1  についての証明について、無限大になる以上、右辺への数式変形は無効じゃないか、という指摘にお答えします。
しかし、y=1+x+x^2+x^3+…=1/1-x についてはどうでしょう。
この数式変形は問題ないと思います。別にyは無限ではありませんから。x≠1において成立します。
これに納得できるなら、xに2(別に2でなくても構いませんが)を入れた場合も式が成立することに
何も問題がないはずです。
くりこみ理論は無限になっては困る物理式(有限のはずの物理式)が一見無限にしかならないときに有限の値にするために生まれた理論です。
しかし、直感に反するため、思いついてもなかなか正しいとは思えないでしょう。
私も正直納得できない部分があります。しかし、だからこそ朝永振一郎氏は凄いのだと思います。

カテゴリ: サイエンス
2011年11月23日 16時28分30秒 Posted by どんどん ( 21,963 PV ) 勢い:9


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コメント(リンクの記載「http://」は行えません)
1 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/23(水)16:49:11. ID: 503288dbp


読み間違えた
2 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/23(水)17:21:26. ID: a92186edp
さあ、問題が難しくなりすぎてGAGAZINEユーザーが理解できなくなってきたぞ。
3 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/23(水)17:22:14. ID: 789ba47ap
∞=1+2×∞だから、∞=−1ってことですか。
4 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/23(水)17:25:32. ID: 277cd5c8p
y=∞って事だろ
∞だから解なし扱いではないのか?
1/0は∞で解無しになる
これを使えば1+1=-1って問題も作れるだろ
5 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/23(水)17:43:34. ID: 28446938p
いや、これはおかしい(笑)。結果が一つの値に収束しないのに、一つの値を持つという仮定を立てている点に矛盾がある。結果と全体が逆で、「(こういう矛盾が生じるから)ゆえに、xはひとつの値をもたない」となるのが正しい。

パラドクスの例として
x=1-1+1-1+…
と同じ。
x=(1-1)+(1-1)+…
とくくれば
x=0
だし
x=1-(1-1)-(1-1)…
とくくれば
x=1
になる。つまり1=0となり、矛盾が生じるから、
xは確定した一つの値を持たない、となる。

6 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/23(水)17:49:13. ID: 28446938p
上記の例なら
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97

lim(a/(1-r))-lim((ar^(n+1))/(1-r))

r^(n+1)

r>1の時にn→∞で0に収束しないから、この項が無限大となってしまう。

r<1ならこの項は0になって消えるから、
lim(a/(1-r))
だけ残って
a/(1-r)
となるのであって、r>1の時の答えは「無限大」が正しい。
7 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/23(水)18:14:38. ID: d9e439cbp
GAGAZINEユーザーには難し過ぎると思いますよ
8 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/23(水)18:41:45. ID: 28446938p
これか
http://ja.wikipedia.org/wiki/1%2B2%2B3%2B4%2B%E2%80%A6
収束しない級数を扱う手法のようだね。ただいずれにせよその数値(今回の場合は-1)は我々が考えるような、意味の数値でないわけで。
9 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/23(水)23:59:03. ID: 28446938p
しかし面白いな。いままで「意味ない」と捨て去ってた値(収束しない関数を収束すると無理に扱って出した答え)が実は意味があるってことなのか?

ルートの中がマイナスになったからこれまで「意味ない」と思っていたら、虚数という概念で捉え直すことで複素数が生まれた、みたいな感じなのだろうか?
10 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/24(木)00:49:57. ID: 78c662cep


あさながさんかと思った
11 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/24(木)00:59:05. ID: e8de6976p

幼稚園卒にもわかるように解説ヨロヨロ
12 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/24(木)02:13:55. ID: e6cab0b1p
GAGAZINEはsupタグとか使えないのか?

繰り込みについてはさっぱり知らないけど、その式って本当に繰り込みに関係してるの?
1-1+1-1...=0かつ1ってのと同じ類の式じゃない?

13 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/24(木)03:43:11. ID: dd7a36fcp
「ともなが」に教養+5点
14 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/24(木)08:13:02. ID: 77f9a22ap
2(1+2+2^2+2^3+…)
これを
2y
と置くのがまちがってないの?
()の中はy/2でしょ?
15 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/24(木)16:41:38. ID: 07f907fbp
解析接続というのがキモらしい。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%8E%A5%E7%B6%9A
この手法を使うと関数の定義域を拡張できるという。今回のように|r|<0でないと収束せず、すなわち定義域が|r|<0の関数も、この手法を使うと|r|<0以外の領域まで拡張できるという。

ただこれは普通に目にする数じゃないような。上記のリンク先の右下の図なんか3次元だよね。普通の複素数は実数と虚数の2次元だけど、もう一次元加わっているような。
16 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/24(木)21:18:09. ID: b8d36e52p
あかん、知恵熱が出てもうた
17 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/25(金)00:11:56. ID: 6695d474p
くだらないな
18 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/25(金)17:07:30. ID: 114db478p
これって
1-2+4-8+16-32+ ・・・
ってプラスとマイナスが入れ替わるんじゃなかったっけ?
19 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/25(金)22:03:30. ID: 3dcfeaa6p
いみふすぎわろた。。。
20 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/25(金)22:04:20. ID: 3dcfeaa6p
トポロジーなみのいみふを久々にあじわったわ。
21 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/27(日)16:28:04. ID: 28855825p
数列と極限を使って項数が有限だと仮定して、
計算してみたがどうも計算が合わない
ここに計算式を書くのは大変なので書かないけど、
右辺のyは左辺のyより小さくなるはずだ
22 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/27(日)19:27:15. ID: ce763aecp
無限の数列を有限と仮定しちゃダメだろ。
たとえば「整数」と「偶数」の個数は(どちらも無限個だが)同じだ。これは有限個と仮定したら絶対得られない答え。
23 名前:21 2011/11/27(日)20:04:11. ID: 28855825p
整数と偶数の個数はどちらも同じ無限大というわけではないし、
もし同じなら集合について考えた時
整数=偶数 となるはずだが
実際は 実数⊃偶数 となり、
実数の個数>偶数の個数 となることがわかるはず
24 名前:21 2011/11/27(日)20:08:11. ID: 28855825p
多分繰り込みは数学で使うものではなく
例えば物体に速度vを与えた時、加速度が無限大となり、
F=maより力が無限大、J=Fxよりエネルーギーが0(実際は不定形)
になるような問題を解消するものだと思う
25 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/28(月)01:32:39. ID: 616d0de1p
>>23
やっぱ無限の扱い方がわかってないね。検索してごらん。偶数の集合は整数の集合の部分集合にもかかわらず、要素の数は同じだ。元の集合とその部分集合の要素数が一致するのが無限集合の重要な性質の一つ。有限集合ではこんなことはありえない。この頭の切り替えができるかできないかが、重要な分かれ目。
26 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/28(月)01:40:25. ID: 616d0de1p
これなんかわかりやすいはず
http://www.nicovideo.jp/watch/sm5586458
27 名前:名無し@ガガリアン 2011/11/28(月)01:48:25. ID: acb6a8dcp
命題も数学的には正しいかもしれないけど、実際は違うパターンがいくらでもある。
それと同じたぐいの屁理屈理論だろこれ

一休さんが得意そうだな
俺の硬い頭では無理だわ
28 名前:名無し@ガガリアン 2011/12/04(日)18:53:53. ID: ad0b5a84p
2進体Q_2では普通に1.111... = -1ですぜ.
ここで0.1 = 2です.
29 名前:名無し@ガガリアン 2011/12/10(土)07:38:28. ID: cc12b326p
収束半径も知らないやつがいっぱいいる・・・
GAGAZINEは高卒ニュースサイトか!
30 名前:名無し@ガガリアン 2011/12/21(水)12:20:35. ID: c9322498p
>>25
君対角線論法も知らないの?
実数の濃度>整数の濃度=偶数の濃度だろjk
31 名前:名無し@ガガリアン 2012/01/15(日)00:51:16. ID: da91f6d7p
*14の言うとおり
y(n) = 2^0+2^1+2^2+2^3…+2^n
= 1+2+4+8+16+…+2^n
として今回の式を見ると
y(n) = 1+2[1+2+4+8+…+2^(n-1)]
= 1+2y(n-1)
となって
y(n)-2y(n-1) = 1
で n→∞
と考えればいい.つまり,漸化式にはなる.
この記事は何かおかしいと思う.
32 名前:名無し@ガガリアン 2012/01/15(日)03:21:14. ID: 0a7da23ap
>>30
だから>>25はそう書いていると思うが?
33 名前:名無し@ガガリアン 2015/03/14(土)10:46:40. ID: a2fd74e0p
うおおおおおおおお

頭がどうにかなりそうだ!
34 名前:名無し@ガガリアン 2016/01/30(土)01:52:33. ID: 16537329p
1、2、4、8、16、……
この数列をa(n)とすると一般項は
a(n)=2^(n-1)

y=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+a(5)+……+a(n)
とすると、
y=1+2+4+8+16+……+2^(n-1)
y=1+2[1+2+4+8+……+2^(n-2)]
y=1+2[y-2^(n-1)]
y=1+2y-2^n
y-2y=1-2^n
-y=1-2^n
y=-1+2^n
y=2^n-1

よって、
y=-1
ではない。すなわち、
1+2+4+8+16+……=−1
ではない。
35 名前:名無し@ガガリアン 2016/12/21(水)11:32:15. ID: 6665e1c0p
増やしたら負の数になるとか、解説見ても分からん
コメント見てもわからんw
36 名前:名無し@ガガリアン 2016/12/31(土)10:39:44. ID: 8996e902p
我々が小学校で習った算数の足し算とは別のものだって
はっきり書けばいいんだよ
ただ、数学的にこの考え方は使い道があって評価されてるってことでしょ